第一节换元法
例1.计算
有人可能会说:直接微积分第二定理就搞定了!
不，这积分不太简单,因为我们找不到它的反导数
为了简便的计算这个定积分,我们可以先算这个不定积分
然后令t=x^3 ,则不定积分变成
然后就可以计算了?不!你有没有发现,这里有两个自变量? ( t和x)
为了统一,我们必须换掉一个量,很明显我们要换掉x^2 dx ,换成以a dt的形式(a为常数)
好在我们令t=x^3了,那么就有dt/dx=3x^2
这样,就有
即
现在即可计算这个不定积分了
我们现在找到了反导数(即sinx^3/3 ) ,所以我们把结果代到定积分,然后使用微积分第二定理，得到
例2.计算
看起来好像无从下手啊,但实际上我们有
令t=sin^-1x,则
也就是
按照上一个例子,我们先计算不定积分以找到反导数
我们找到了反导数
然后把视线转到定积分,注意一点,在这里我们的做法与上一一个例子不太相同
我们把积分上限和下限用妹表示,也就是把x= 1/√2和x=√3/2分别代入t=sin^-1x,就得到
t=π/3和t=π/3
也就是
求得
第二节分部积分法
在学习这节之前，我们需要掌握一个公式:
u,v是函数
(这个公式是利用链式求导法则的微分形式,然后在等号两边分别积分就得到的)
例1.假设要计算
令u=x并且dv=e^x dx ,这时就有
现在我们还需要找到du和v ,这样就可使用分部积分
du比较简单, du=dx (因为u=X ,所以du/dx=1 )
那v呢?我们只知道dv=e^x dx ,即dv/dx=e^x ,很明显那么v=e^x
现在就可以使用分部积分法了:
也就是
这就是答案
例2.求
首先我们令u=x^ 2,dv=sinx dx
那么就有V= -cosx,du= 2x
然后使用分部积分法:
即
然后我们发现,等号右边的第一项貌似还要使用一次分部积分法
没错,的确是的
先把等号右边的第二项的2提出来,然后使用分部积分
那么令U=x,dv=COsx dx
则V=-sinx, dU=dx
这样替代，就有:
即
然后带入回去，即得到
注意：这里的乘上2的，因为常数乘以常数还是常数e^(-x^2)的积分怎么求e^(-x^2)的积分怎么求，所以可以直接+C而不是+2C
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